9、 概率论

9.1 条件概率&组合概率

  • 随机变量，结果，事件，互斥事件，完备事件
    • 随机变量，不确定的数或量（掷骰子）
    • 结果，随机变量的一个观测值（骰子3点朝上）
    • 事件，一个或一组结果集（骰子朝上的数字为偶数）
    • 互斥事件，不可能同时发生的事件（骰子朝上的数字是1，骰子朝上的数字是偶数）
    • 完备事件，包含所有可能的结果(骰子朝上的数字是奇数，骰子朝上的数字是偶数)
  • 概率的两大性质
    • 发生任何事件的概率大于等于0，小于等于1
    • 如果一系列事件集互斥，且完备，那么其概率和为1
  • 经验概率，先验概率，主观概率
    • 经验概率 empirical probability，分析历史数据得出的概率
    • 先验概率 priori probability，通过形式化推理和验证过程得出的概率
    • 主观概率 subjective probability，最不正规，带个人主观判断的概率
  • 赔率 odds
    • 骰子朝上的数字是1的概率是1/6，骰子朝上的数字是1的赔率是1赔5
  • 区分非条件概率&条件概率
    • 非条件概率，无论投几次，硬币正面朝上的概率都是1/2，和上一次及上几次出现正还是反不相关
    • 条件概率，B的发生对A的发生有影响，B发生时，A发生的概率，P(A IB)
  • 乘法法则，加法法则，全概率法则
    • P(AB) = P(A I B) × P(B)
    • P(A or B) = P(A) + P(B) − P(AB)
    • P(A) = P(A I B1)P(B1) + P(A I B2)P(B2) + … + P(A I BN)P(BN)，其中B1..BN是互斥且完备结果集
  • 联合概率，至少一或两个发生概率，任意独立事件联合概率
    • P(AB) = P(A IB) × P(B)
    • P(A or B) = P(A) + P(B) − P(AB)
    • P(三个骰子1朝上的概率) = 1/6 × 1/6 × 1/6 = 1/216 = 0.00463

9.2 条件期望&相关性

  • 独立事件&非独立事件
    • 独立事件：P(AIB) = P(A), 相对应的， P(B IA) = P(B)
    • 否则为非独立事件
  • 使用总概率规则计算无条件概率
    • P(R) = P(R I S1) × P(S1) + P(R I S2) × P(S2) + . . . + P(R I SN) × P(SN)，其中 {S1, S2, . . . SN}互斥且完备
  • 期望值
    • E(X) = ΣP(xi)xi = P(x1)x1 + P(x2)x2+ … + P(xn)xn
  • 协方差 covariance
    • Cov(Ri,Rj) = E((Ri − E(Ri))(Rj − E(Rj)))
    • 协方差与方差的概念类似，方差表示一个随机变量与自身的变化情况，协方差表示一个随机变量随另一个随机变量的变化情况
    • Cov(RA,RA) = Var(RA).
    • 区间为(-∞，+∞)
  • 相关系数 correlation
    • 协方差不便于比较，引入概念correlation coefficient 相关系数或简称correlation
    • corr(Ri,Rj)=cov(Ri,Rj)/delta(Ri)delta(Rj)
    • 以上也可以反推出：cov(Ri,Rj)=corr(Ri,Rj)delta(Ri)delta(Rj)
    • 相关系数表示两个随机变量间的线性相关程度
    • 相关系数没有单位
    • 区间为【-1,+1】
    • corr(Ri,Rj)=1.0,表明完全线性正相关
    • corr(Ri,Rj)=-1.0,表明完全线性负相关
    • corr(Ri,Rj)=1.0,表明完全线性不相关

9.3 投资组合方差，贝叶斯，计数问题

  • 计算投资组合收益的期望值、方差、标准差
    • 期望值：E(Rp)=w1E(R1)+w2E(R2)+w3E(R3)+….+WnE(Rn)
    • 方差：Var(Rp) = ∑(i=1..N)∑(j=1..N) wi*wj*cov(Ri,Rj)
    • 标准差：方差开根

  • 联合概率函数的协方差计算

  • 贝叶斯公式
    • 已知 P(B)，P（AIB）,P(AI!B)，利用贝叶斯公式可以算出P(BIA)
  • 阶乘、排列、组合方法计数问题
    • 高中数学常识，不做复习